Ako vyrobiť spirograf a cykloidu
V nie tak dávnych dobách, keď ešte neboli príliš rozšírené počítače a tlačiarne, bolo vzácnosťou vytvoriť symetrické geometrické obrazce. Snehové vločky sme vytvárali vystrihovaním preloženého papiera alebo kreslením cykloidy pomocou spirografu. Cykloida je krivka, ktorú vykresľuje bod odvaľovaním kružnice po inej kružnici. Vetvy cyklodidy potom pripomínajú kvet alebo snehovú vločku. Mechanická pomôcka na vytvorenie cyklodidy sa nazýva spirograf. Ide o dve ozubené kolieska, ktorá sa odvaľujú po sebe a pomocou ceruzky v otvore sa vykresľuje cykloida. Nižšie je návod na výrobu rôznych druhov spirografov.
Jednoduchý spirograf
Jednoduchý spirograf sa dá vyrobiť z recyklovaním vecí, čo by sa inak stali odpadom. Stačí sa len poobzerať okolo seba a nájsť vhodné objekty.
Rolka lepiacej pásky, plastový vrchnák a gumička.
Do plastového vrchnáku spravíme pár dier, v rôznych vzdialenostiach od stredu. Aby neboli otvory blízko seba, je vhodné ich rozložiť do tvaru špirály. Ale funguje to aj keď budú rozmiestnené rôzne náhodne. Na obrubu vrchnáku dáme gumičku, aby sa zvýšilo trenie medzi vnútorným a vonkajším kruhom. Potom už len krúživými pohybmi vykreslíme cykloidu.
Môžeme experimentovať s rôznymi priemermi vnútornej aj vonkajšej kružnice.
Drevený spirograf
Spirograf z plastového vrchnáku funguje celkom dobre, ale pri otvoroch, ktoré sú už príliš blízko okraju, začína prešmykovať. Proti prešmyku je preto vhodné použiť dve ozubené kolieska.
Predloha pre rezanie laserom: PNG
Pomocou laseru som vyrezal z preglejky dve ozubené kolieska, ktoré síce neprešmykujú, ale znovu pri otvoroch blízko okraju pôsobí výslednica síl tak, že malé ozubené koliesko je vytláčané dohora od podložky. Navyše som zistil, že vonkajšie ozubenie na veľkom kruhu nemá zmysel, pretože sa mi pri kreslení krížia ruky a nedokážem tak spraviť viacero otáčok.
Plastový spirograf na 3D tlačiarni
Drevený spirograf bol síce lepší ako obyčajný plastový vrchnák, ale chcelo by to nejako vytvoriť obrubu, ktorá by zabraňovala vytláčaniu vnútorného kolieska.
Do tretice som teda vytvoril model pre 3D tlač. Pridal som aj otvory trojuholníkového tvaru, ktoré vytvárajú ploché okraje na vetvách cykloidy. STL na stiahnutie: vnútorný , vonkajší.
Tlačiareň má ale horšie rozlíšenie ako laser. Niektoré zuby sa nevytlačili úplne dokonale ale vďaka obrumbe už nie je vnútorné ozubené koliesko vytláčané dohora.
Parametrické rovnice
Výhodou počítačových výpočtov je to, že môžeme dopredu nasimulovať a preveriť rôzne polomery kružníc a nechať si tak vykresliť hypotrochoidu. Nižšie sú jej parametrické rovnice:
Parameter p je uhol v radiánoch, R je polomer vonkajšej kružnice, r je polomer vnútornej kružnice. Rozmer k je vzdialenosť otvoru na ceruzku, meraný od stredu menšej kružnice.
Čo sa týka rozmerov, najdôležitejší je vzájomný pomer R/r, ktorý určuje počet vetiev. Teda ak R/r=3 dostávame troj cípy tvar nazývaný deltoid. Ak R/r=4 dostávame štvôr cípy tvar nazývaný astroid. Ale ak je R/r nejaké desatinné číslo medzi 3 a 4, dostaneme mnoho vetiev všeobecnej hypotrochoidy. Nižšie sú vykreslené niektoré ukážky.
Pomer k/r udáva pozíciu otvoru pre ceruzku. Teoreticky ak by bol otvor umiestnený až na okraji malej kružnice tak k/r=1 a dostávame ostré ramená. Ak sa pomer k/r zmenšuje a blíži sa k nule, dostávame ramená zakončené oblúkom alebo slučkou.
Všetky obrázky boli vygenerované pomocou rovníc cez Excel. Interaktívny súbor na stiahnutie: spirograf.xlsx